Des multiples de 13 par récurrence - Corrigé

Énoncé

Montrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , le nombre \(3^{n}-2^{4n}\) est un multiple de \(13\) .

Solution

Pour \(n \in \mathbb{N}\) , soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : «  \(3^{n}-2^{4n}\) est un multiple de \(13\)  », autrement dit : « Il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(3^{n}-2^{4n}=13k\)  ».

Initialisation
Montrons que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie, c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(3^{0}-2^{4 \times 0}=13k\) .
D'une part : \(3^{0}-2^{4 \times 0}=3^0-2^0=1-1=0\) .
D'autre part : pour \(k=0\) , on a \(13 \times 0 = 0\) .
La propriété \(\mathcal{P}(0)\) est donc vraie.

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie.
Montrons que \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie, c'est-à-dire qu'il existe \(k' \in \mathbb{Z}\) tel que \(3^{n+1}-2^{4(n+1)}=13k'\) .
On a :  \(\begin{align*}3^{n+1}-2^{4(n+1)}& = 3^n \times 3 -2^{4n+4}= 3^n \times 3 - 2^{4n} \times 2^4= 3^n \times 3 - 2^{4n} \times 16\end{align*}\) .
Or, par hypothèse de récurrence, \(3^n=2^{4n}+13k\) , donc :
\(\begin{align*}3^{n+1}-2^{4(n+1)}& = (2^{4n}+13k) \times 3 -2^{4n} \times 16\\& = 2^{4n} \times 3+13k \times 3-2^{4n} \times 16\\& = 2^{4n} \times (3-16)+13k \times 3\\& = 2^{4n} \times (-13)+13k \times 3\\& = 13(3k-2^{4n})\\& = 13k'\end{align*}\)  
avec \(k'=3k-2^{4n} \in \mathbb{Z}\) , et la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , le nombre \(3^{n}-2^{4n}\) est un multiple de \(13\) .